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お金と幸せの論理的関係について考えた

問題

xを整数とする。次の命題P1、P2、P3および命題Qの間に「ならば」の関係があれば、それをすべて挙げよ。

P1:xは0以上99以下である。
P2:xは-99以上0以下である。
P3:xの絶対値(|x|)を100で割った余りは5である。

Q:xは-10以上10以下である。



答え
P1、P2、P3の間には明らかに何の関係もない。
これらとQの間にも、以下のように「ならば」の関係は存在しないことがわかる。

・P1とQ
たとえばx=11は、P1を満たすがQを満たさない。
たとえばx=-1は、P1を満たさないがQを満たす。

・P2とQ
たとえばx=-11は、P2を満たすがQを満たさない。
たとえばx=1は、P2を満たさないがQを満たす。

・P3とQ
たとえばx=105は、P3を満たすがQを満たさない。
たとえばx=1は、P3を満たさないがQを満たす。

つまり、「ならば」の関係はひとつもない。
数学的に言えば、
P1、P2、P3はそれぞれQの必要条件でも十分条件でもない。


ところが、P1、P2、P3のうち二つずつを組み合わせると、ちょっと面白いことが起きる。

・P1かつP2
この二つの命題を同時に満たすのは、x=0に限られる。
この時は、必ずQを満たす。
つまりP1かつP2はQの十分条件である。

・P1かつP3
この二つの命題を同時に満たすのは、x=5に限られる。
この時は、必ずQを満たす。
つまりP1かつP3はQの十分条件である。

・P2かつP3
この二つの命題を同時に満たすのは、x=-5に限られる。
この時は、必ずQを満たす。
つまりP2かつP3はQの十分条件である。

これはどういうことであろうか。
P1、P2、P3という条件は、単体でxに課しても全くQには届かなかったのに、
それらのうち二つをxに課すと、たちまちQを十分満たすことになるのだ。

数学的にはこれ以上話が広がることはないだろう。
ただ、とんでもなく非数学的な感覚を述べてしまうなら、
P1、P2、P3はQの必要条件でも十分条件でもないけれども、Qとなんらの関わりもないとまでは言えない感じがする。
それらの条件をそれぞれ単体でxに課したとき、少しだけQに近づいたというか、Qを満たしやすくなった、というような感じだろうか。当然、これは全く数学的な表現ではないし、数学的なセンスでもないのだが。


ところで、最近幸せとお金の関係がちょっぴり話題になったらしい。
https://togetter.com/li/1063980
私の意見としては、お金=幸せ、では決してない。
それどころか、お金は幸せの必要条件でもないし、十分条件でもない。

お金を持っていなくても幸せにはなれるし、お金を持っていても幸せでない人もいる。

ではお金と幸せに全く何の関係もないかというと、そうではないと思う。
この記事冒頭の問題は、その感覚を説明するためにひねり出した喩えだった。

お金という条件単体では、幸せとの間に論理関係は無いように見えるが、他の何らかの条件(たとえば「豊かな人間関係」とか)を組み合わせることで幸せの十分条件となる、というのが私の回答だ。
おそらくこの場合のQ(=幸せ)にたどり着く命題Pは3つどころではない。
幸せを構成する雑多な条件がいくつも散乱していて、それらはどれをとっても幸せの必要条件にも十分条件にもならない。
しかし、それらのうち規定量を取得することで、それらのセットが幸せの十分条件となる。
そういう地道にポイントを集めてゲットするのが幸せというやつだと思う。
以上です。
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